Formulation variationnelle Si \(u\in X:=\{\varphi\in\mathcal C^1(\overline\Omega)\mid\varphi=0\text{ sur }\partial\Omega\}\), alors \(u\) est solution de l'équation de Laplace si et seulement si $$\forall v\in X,\quad\int_\Omega\nabla u(x)\cdot\nabla v(x)\,dx=\int_\Omega f(x)v(x)\,dx$$

• plus simple à résoudre que la formulation classique car la solution \(u\) est seulement \(\mathcal C^1(\overline\Omega)\) (et non \(\mathcal C^2(\overline\Omega)\))
• on peut réécrire cette condition comme \(a(u,v)=L(v)\), avec \(a\) une forme bilinéaire et \(L\) une forme linéaire

Equation de Laplace, Formule d'intégration par parties (corollaire de la formule de Green), Lemme de l'intégrale nulle